Stammfunktion im Punkt P(1|5) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f (x) = [mm] 6x^2 [/mm] - [mm] \bruch{5}{x^{2}} [/mm] , x>0.
Auf welcher Stammfunktion F von f liegt der Punkt P(1|5)? |
Hallo ,
also ich habe erstmal die Stammfunktion gebildet :
[mm] \integral_{}^{}{ 6x^2 - \bruch{5}{x^{2}} dx} [/mm] = [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 5x^{-1} [/mm] + C
=> F(x) = [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 5x^{-1} [/mm] + C
Kann ich jetzt F(1) = 5 als Ansatz nehmen , und dann nach C umformen ?
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Hallo pc-doctor,
> Gegeben ist die Funktion f (x) = [mm]6x^2[/mm] - [mm]\bruch{5}{x^{2}}[/mm] ,
> x>0.
> Auf welcher Stammfunktion F von f liegt der Punkt P(1|5)?
> Hallo ,
> also ich habe erstmal die Stammfunktion gebildet :
>
> [mm]\integral_{}^{}{ 6x^2 - \bruch{5}{x^{2}} dx}[/mm] = [mm]2x^3[/mm] +
> [mm]5x^{-1}[/mm] + C
>
> => F(x) = [mm]2x^3[/mm] + [mm]5x^{-1}[/mm] + C
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich jetzt F(1) = 5 als Ansatz nehmen , und dann nach C
> umformen ?
Ja.
Gruss
MathePower
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Alles klar vielen Dank für die Kontrolle.
Hab aber jetzt noch eine Frage zu der linearen Substitutionsregel der Integralrechnung.
Wenn ich das hier habe :
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx}
[/mm]
Die lineare Substitionsregel der Integralrechnung sagt das :
[mm] \integral_{}^{}{f(ax+b) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] * F(ax+b) +C
Wie kann ich das jetzt hier anwenden ?
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0,5}*
[/mm]
Hab es soweit , muss ich jetzt [mm] (\bruch{1}{2}x-1)^{2} [/mm] integrieren ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Alles klar vielen Dank für die Kontrolle.
>
> Hab aber jetzt noch eine Frage zu der linearen
> Substitutionsregel der Integralrechnung.
>
> Wenn ich das hier habe :
>
> [mm]\integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx}[/mm]
>
> Die lineare Substitionsregel der Integralrechnung sagt das
> :
>
> [mm]\integral_{}^{}{f(ax+b) dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] * F(ax+b) +C
>
> Wie kann ich das jetzt hier anwenden ?
>
> [mm]\integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{0,5}*[/mm]
>
> Hab es soweit , muss ich jetzt [mm](\bruch{1}{2}x-1)^{2}[/mm]
> integrieren ?
Vermutlich meinst du das richtige.
Bei:
[mm]\int\left(\frac{1}{2}x-1\right)^{2}dx[/mm]
Substituiere [mm] u=\frac{1}{2}x-1
[/mm]
Also:
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrrow dx=\frac{1}{\frac{1}{2}}du
[/mm]
Also:
[mm]\int u^{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}du[/mm]
[mm]\int\left2u^{2}du[/mm]
[mm]=\frac{2}{3}u^{3}+C[/mm]
[mm]=\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{1}{2}x-1\right)^{3}+C[/mm]
Marius
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Oh , ich glaub jetzt wurde ich missverstanden.
Wir haben erst neu damit angefangen und im Buch machen die das ja anders , so mit u und v ist es noch zu viel/weit.
Kann man das nicht so machen , wie im Buch ?
Gibt es da sowas nicht wie innere und äußere Funktion oder so , also beim Integrieren ?
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Hallo,
> Gibt es da sowas nicht wie innere und äußere Funktion
> oder so , also beim Integrieren ?
nein, nicht in dem Sinn wie beim Ableiten. Es gibt also inbesondere keine allgemeingültige Regel, wie verkettete Funtionen zu integrieren sind, aus dem ganz einfachen Grund: weil man die Stammfunktion ja in vielen Fällen gar nicht geschlossen als Term darstellen kann.
Die Ausnahme hast du selbst oben genannt: kennt man die Stammfunktion der äußeren Funktion f und ist die innere Funktion linear, so gilt grundsätzlich
[mm] \integral{f(a*x+b)dx}=\bruch{1}{a}*F(a*x+b)+C
[/mm]
Gruß, Diophant
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Okay , aber ich weiß ja jetzt nicht , wie ich das auf $ [mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx} [/mm] $ anwenden soll.
Erstmal :
$ [mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{0,5} [/mm] und jetzt ?
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Hallo,
wie lautet das unbestimmte Integral von [mm] x^2?
[/mm]
Die äußere Funktion ist nämlich nichts anderes als die Quadratfunktion [mm] f_a(x)=x^2.
[/mm]
Gruß, Diophant
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Das unbestimmte Integral von [mm] x^2 [/mm] ist [mm] \bruch{1}{3}*x^3.
[/mm]
Hab jetzt mal bisschen rumprobiert :
$ [mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{0,5}*\bruch{1}{3}(\bruch{1}{2}x-1)^3.
[/mm]
Ist das so richtig ?
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Hallo,
> Das unbestimmte Integral von [mm]x^2[/mm] ist [mm]\bruch{1}{3}*x^3.[/mm]
>
> Hab jetzt mal bisschen rumprobiert :
>
> [mm]\integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{0,5}*\bruch{1}{3}(\bruch{1}{2}x-1)^3.[/mm]
>
> Ist das so richtig ?
Ja, das passt. Jetzt solltest du aber noch die 1/2 und die 1/3 multipliztieren zu einem gemeinsamen Vorfaktor. Überhaupt sollte man in der Analysis generell mit Brüchen und Wurzeltermen rechnen an Stelle von Dezimalzahlen.
Gruß, Diophant
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[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx} [/mm] =
[mm] \bruch{2}{3}(\bruch{1}{2}x-1)^3+ [/mm] C
So besser , oder ?
Also schwer ist das eigentlich garnicht :D
Da finde ich manchmal die Kettenregel in der Differenzialrechnung schwieriger :D
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Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{(\bruch{1}{2}x-1)^{2} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}(\bruch{1}{2}x-1)^3+[/mm] C
>
> So besser , oder ?
ja. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 19.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank , ich poste gleich dann mal mehrere Aufgaben , um sicher zu gehen , dass ich richtig gerechnet habe.
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